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WordPressでajaxを動かそうするとき、WordPressのルールに
則って動かさないと動かないらしい。
なので、このような記述を書かないといけない。
まず、非同期処理の送信先に、admin-ajax.phpというファイルを指定。
そこへPOSTかGETしないといけない。そしてデータとして
アクションさせるファンクション名を記述して
上げないといけないらしい。
こんな感じになる。

$( '#submit' ).on( 'click', function(){
    $.ajax({
        type: 'POST',
        url: <?=admin_url('admin-ajax.php')?>,
        data: {
            'action' : 'hoge_f',
        },
        dataType: "json",
        success: function( obj){
            alert( obj );
        }
    });
    return false;
});

次にWPテーマのファンクションファイルに下記を追加記述。

function hoge_f(){
echo json_encode($_POST);
    die();
}
add_action( 'wp_ajax_hoge_f', 'hoge_f' );
add_action( 'wp_ajax_nopriv_hoge_f', 'hoge_f' );

ここでミソなのが、die();という部分、これを除けると0という文字も出力されてしまう。
ちなみにwp_ajaxがログイン時の振る舞い、wp_ajax_noprivがログアウト（＝訪問者）時の
振る舞いだそうだ。
この2つの勘所だけ覚えとけばWordPressで非同期処理が
行えるのではないだろうか、もっと詳しく知りたい場合、admin-ajax.phpの中身を
見たらよいのだろうけど、にわかWordPress職人さんはコレだけ
覚えとけば良さそうだと。